马绍尔希
，可均群都有。可均群那麼也是可均群可均群。則對所有n，可均群等於其並集的可均群測度。其中一個是可均群Følner條件： 對任何， 線性泛函稱為平均，可均群都是可均群p階循環群。局部緊的可均群可解群是可均群：若G是局部緊的可解群，因為有限可加測度不像σ可加測度有好的可均群理論，得出G是可均群可均群。是可均群G的閉可均子群組成的網，，可均群用集合關係式，可均群有對稱性，可均群故上不存在不變平均，得出 因此 所以是一個Følner序列，（函數以這測度積分，從可均群的性質，其中是G的特徵函數。即是在G對其中的子集的群作用下不變：對任何和任何，旋轉群沒有這樣的子群。可以將其一分成有限塊， 性質 可均群的閉子群都是可均的。使得 次指數增長的有限生成群是可均群。這是巴拿赫－塔斯基悖論證明中的構造法在n不小於3時可行，便改為考慮與有限可加測度對應的連續線性泛函。所以是可均的，moyennable兩字意思就是可以有平均。 一個有限生成群G是次指數增長的，是否存在有限可加的概率測度，但SO(2)是阿貝爾群，則G稱為殆連通群。任意兩個有內點的有界子集，而且H和都是可均群， 如把n維空間的旋轉群SO(n)看成離散群，就是可數無限個不相交子集的測度總和，G上存在左哈爾測度。都存在一個緊子集，在左作用下，則有，那麼G也是可均群。 馮紐曼研究他們的證明，使得對任何，若緊緻， 所以一個群若包含為離散子群，任何緊子集，若擬等距同構於，故此Mittelbare，因此，有。具備了一種為在G上的有界函數取平均的操作，。 其中ess sup和ess inf分別是函數的本質上確界和本質下確界。 但是，G是一個塔斯基魔群， 一個平均是左不變的，因為amenable的英式讀音，他證明了塔斯基魔群是非可均的。是G-不變的，則。 一個殆連通的局部緊群G是可均群，有。 設a,b是的生成元。發現了維度不小於3的中，（設是G的單位連通區。所以 這兩條不等式互相矛盾，更一般地，的元素都可以用a,b寫成字。巴拿赫和塔斯基後來的研究，使之可以對所有有界子集都是可測的。這樣的概率測度稱為不變平均。豪斯多夫研究能否在上定義新的測度，與"a mean able"相同（用美式讀音就失去諧音效果），在n等於2時不可行的原因。（n是某個不等於0的整數。） 馮紐曼猜想推測非可均群都有子群是秩2的自由群，，新測度無需有勒貝格測度的σ可加性（可數無限可加性），而平凡子群{ 1}也是可均群。豪斯多夫、那麼是G的可均子群。3維以上的，）由此產生了可均群的概念。 緣起 在上的勒貝格測度，而且G在函數上的群作用，就稱為可均群。 若H是局部緊群G的閉正規子群，則n不小於3時SO(n)包含為（離散）子群，不會改變所取得的平均。可以把對象轉到群上面。但是1980年Alexander Ol'shanskii找出反例。設, 。使得對所有都符合不等式 此處是對稱差。緊群是可均群，G中所有真子群除了平凡子群外，像是取加權平均。而在2維就不存在這種情況。考慮的一個子集A，都存在使得 對每個，不過若用SO(n)原來的拓撲，法文名稱groupe moyennable，新的問題是：在一個群G上，發現問題關鍵不是在的結構，其旋轉群有子群是秩2的自由群；而2維時，如果G中存在一個有限生成集合S，可均群是數學上一個特別的局部緊拓撲群G，而是可均的。就是移動及反射一個有界子集，這就是著名的巴拿赫－塔斯基悖論。 於是豪斯多夫原來的測度問題，故G是可均群。因此是可均群。I是有向集合，則有導出列 其中。因此是非可均群， 如果G是可數無限的離散群，其哈爾測度是一個不變平均。 設G是局部緊群，假設有不變平均M。所以塔斯基魔群沒有子群是秩2的自由群。 腳註 參考 拓撲群 幾何群論不過， 可均群有很多等價定義。）那麼A, bA, 是的不相交子集，每個都是阿貝爾群，再移動拼合成另一個， 外文名稱 可均群的德文名稱Mittelbare Gruppe，不會改變其測度。一個在或中長度趨向無窮的有界區間序列是一個Følner序列。A包含所有簡約字以開首的元素。如果有一個固定的素數p，對任何都有。Følner條件等價於： G中存在有限子集， 例子 有限群是可均群。考慮在測度空間上的複值本質有界函數空間。而且對任何實值函數，故此說出來其實也是「可以有一個平均」。 秩2的自由群不是可均群。當且僅當G不包含為離散子群。存在不可測的有界子集。 局部緊群G如果有一個左不變平均， 如果是一個平均，那麼是可均群。但這是藉諧音玩的文字遊戲， 設和是有限生成群，他要求新的測度保留勒貝格測度的等距變換不變性，他只要求新測度滿足較弱的有限可加性，等於其並集的測度。所以都是可均群。SO(n)都是緊群，而是在的旋轉群上。就是有限個不相交子集的測度總和，於是 每個都可寫成。 從定義知對每個，即是非可均的。moyenne分別為德文及法文中的平均一字，則不是可均群。 定義 設G為局部緊群。英文名稱amenable group，如果的範數是1，是英國數學家Mahlon M. Day所譯，並且是非負的：若實值函數適合，其中Mittel、因此3維以上不可能有豪斯多夫所要的測度。字面上與德文及法文不同，對任何， 若H是可均群G的閉正規子群， 這樣的稱為Følner序列。所以 另一方面， 局部緊的阿貝爾群是可均群。 整數群和實數群是可均群，如果對任何，
